Question

如圖一，△ABC是正三角形，△ABD是等腰直角三角形，AB=BD=2。將△ABD沿邊AB折起， 使得△ABD與△ABC成30^o的二面角,如圖二，在二面角中.

(1) 求D、C之間的距離；
(2) 求CD與面ABC所成的角的大小;
(3) 求證：對于AD上任意點H，CH不與面ABD垂直。

Answer 1

(1)|CD|==；
(2) =； (3) CH不與面ABD垂直。

試題分析：依題意，ABD=90^o，建立如圖的坐標系使得△ABC在yoz平面上，△ABD與△ABC成30^o的二面角, DBY=30^o，又AB=BD=2，  A(0，0，2)，B(0，0，0)，
C(0，，1)，D(1，，0)，
    (1)|CD|==……… 5分
(2)x軸與面ABC垂直，故(1，0，0)是面ABC的一個法向量。
設CD與面ABC成的角為，而= (1，0，-1)，
sin==
[0，]，=； 8分
(3) 設=t= t(1，，-2)= (t，t，-2 t)，
=+=(0，-,1) +(t，t，-2 t) = (t，t-，-2 t+1)，
若，則 (t，t-，-2 t+1)·(0，0，2)="0" 得t=，   10分
此時=(，-，0)，
而=(1，，0)，·=-=-10, 和不垂直，
即CH不可能同時垂直BD和BA，即CH不與面ABD垂直。 12分
點評：典型題，立體幾何題，是高考必考內容，往往涉及垂直關系、平行關系、角、距離、體積的計算。在計算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計算”的步驟，利用向量則能簡化證明過程。本題利用空間向量，簡化了證明過程，但對計算能力要求較高。