Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x（x-1）²，x＞0．
（1）求f（x）的極值；
（2）設(shè)0＜a≤1，記f（x）在（0，a]上的最大值為F（a），求函數(shù)G(a)=

F(a)

a

的最小值；
（3）設(shè)函數(shù)g（x）=lnx-2x²+4x+t（t為常數(shù)），若使g（x）≤x+m≤f（x）在（0，+∞）上恒成立的實(shí)數(shù)m有且只有一個(gè)，求實(shí)數(shù)m和t的值．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)，令f′（x）=0得x=

1

3

或x=1，令f′（x）＞0，令f′（x）＜0得f（x）的單調(diào)性，確定函數(shù)f（x）的極值．
（2）由（1）知f（x）的單調(diào)性，以極值點(diǎn)為界，把a(bǔ)分成兩類討論，在兩類分別求出F（a），求G（a），求G（a）最小值，兩個(gè)最小值最小者，即為所求．
（3）把連等式分成兩個(gè)不等式x+m-g（x）≥0和f（x）-x-m≥0在（0，+∞）上恒成立的問(wèn)題，把不等式的左邊看作一個(gè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最小值，兩個(gè)范圍求交集再由實(shí)數(shù)m有且只有一個(gè)，可求m，進(jìn)而求t．

解答：解：（1）f′（x）=（x-1）²+2x（x-1）=3x²-4x+1=（3x-1）（x-1），x＞0．令f′（x）=0，得x=

1

3

或x=1，f（x），f′（x）隨x的變化情況如下表
∴當(dāng)x=

1

3

時(shí)，有極大值f（

1

3

）=

4

27

，當(dāng)x=1時(shí)，有極小值f（1）=0．
（2）由（1）知：f（x）在（0，

1

3

]，[1，+∞）上是增函數(shù)，在[

1

3

，1]上是減函數(shù)，
①0＜a≤

1

3

時(shí)，F(xiàn)（a）=a（a-1）²，G（a）=（a-1）²≥

4

9

特別的，當(dāng)a=

1

3

時(shí)，有G（a）=

4

9

，
②當(dāng)

1

3

＜a≤1時(shí)，F(xiàn)（a）=f（

1

3

）=

4

27

，G（a）=

4 27

a

≥

4

27

特別的，當(dāng)a=1時(shí)，有G（a）=

4

27

，
由①②知，當(dāng)0＜a≤1時(shí)，函數(shù)G(a)=

F(a)

a

的最小值為

4

27

．
（3）由已知得h₁（x）=x+m-g（x）=2x²-3x-lnx+m-t≥0在（0，+∞）上恒成立，
∵h′1(x)=

(4x+1)(x-1)

x

，
∴x∈（0，1）時(shí)，h′₁（x）＜0，x∈（1，+∞）時(shí)，h₁（x）＞0
∴x=1時(shí)，h′₁（x）取極小值，也是最小值，
∴當(dāng)h₁（1）=m-t-1≥0，m≥t+1時(shí)，h₁（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
同樣，h₂（x）=f（x）-x-m=x³-2x²-m≥0在（0，+∞）上恒成立，
∵h(yuǎn)′₂（x）=3x（x-

4

3

），
∴x∈（0，

4

3

）時(shí)，h′₂（x）＜0，x∈（

4

3

，+∞），h′₂（x）＞0，
∴x=

4

3

時(shí)，h₂（x）取極小值，也是最小值，
∴h2(

4

3

)=-

32

27

-m≥0，m≤-

32

27

時(shí)，h₂（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
∴t+1≤m≤-

32

27

，
∵實(shí)數(shù)m有且只有一個(gè)，∴m=-

32

27

，t=-

59

27

．

點(diǎn)評(píng)：本題了考查導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系，若f（a）=0：a的左側(cè)f'（x）＞0，a的右側(cè)f'（x）＜0則a是極大值點(diǎn)；a的左側(cè)f'（x）＜0，a的右側(cè)f'（x）＞0則a是極小值點(diǎn)；求F（a）時(shí)，要分類討論，在求參數(shù)的范圍時(shí)，經(jīng)過(guò)兩次轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，使問(wèn)題得以解決．