Question

【題目】如圖①，在直角梯形中，，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，將沿折起，使平面平面，連接，，，得到如圖②所示的幾何體.

（1）求證：平面；

（2）若，二面角的平面角的正切值為，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）要證平面，只需證明和，即可求得答案；

（2）根據(jù)已知求得，，，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的法向量和平面的法向量，即可求得答案.

（1）平面平面，平面平面，

平面

平面，

又折疊前后均有，

平面

（2）（1）知平面，

二面角的平面角為

又平面，平面，

依題意

，所以，

設(shè)

則

依題意，

即

解得，

故，，

如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系

則，，，，

，

由（1）知平面的一個(gè)法向量

設(shè)平面的法向量為

由，得

令，得，，

為平面的一個(gè)法向量

由圖可知二面角的平面角為銳角

二面角的余弦值為