Question

【題目】在平面直角坐標系中，橢圓的左、右焦點分別為，離心率.過的直線與橢圓相交于兩點，且的周長為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若點位于第一象限，且，求的外接圓的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由的周長為得，再結合即可解出a，b；

（2）設，由得，聯立橢圓方程可解得A點坐標，然后再寫出直線的方程，聯立橢圓方程得到B點坐標即可解決.

解：（1）因為橢圓的離心率，

所以①.

又的周長為，所以.②

聯立①②，解得，從而，

因此橢圓的方程為.

（2）因為點位于第一象限，故設，其中.

因為，所以，又點在橢圓上，

所以解得，從而.

由（1）知，橢圓的左焦點為，所以直線的方程為．

由得，解得或．

所以.

因為，所以的外接圓就是以為直徑的圓.

又橢圓的右焦點為，

所以線段的中點的坐標為，此時，

故的外接圓的方程為.