Question

設雙曲線H: -=1(a>0,b>0)滿足如下條件:①ab=;②直線l過右焦點F,斜率為,交y軸于點P,線段PF交H于Q,且|PQ|∶|QF|=2∶1.求雙曲線的方程.

Answer 1

x²-=1.

設c=,則F(c,0),l的方程y=(x-c),
令x=0,得P(0,-c).
設Q(x₀,y₀),則由λ==2,有x₀=c,y₀=-c.
∵Q在H上,
∴(c)²-()²=1,
即(1+)-(+1)=1.
令t=,則上式變為(1+t)-(1+)=1,
16t²-41t-21=0.
∴t=3,t=-(舍去).
=3,又ab=,
∴b²=3,a²=1.
∴H的方程是x²-=1.