Question

【題目】已知橢圓的左右頂點是雙曲線的頂點，且橢圓的上頂點到雙曲線的漸近線的距離為 。

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與相交于兩點，與相交于兩點，且，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1） 根據題意，得；由的上頂點到雙曲線的漸近線的距離為，利用點到直線距離公式求得，進而得到橢圓方程。

（2）設出直線的方程，聯立雙曲線方程，化為關于x的一元二次方程，根據兩個交點則 ，得到關于m、k的不等式；再根據，利用韋達定理求得m與k的等量關系；根據弦長公式用m、k表示出的長度，利用等量關系將化為關于k的整式，利用換元法和求導，得到的取值范圍。

（1）由題意可知：，

又橢圓的上頂點為，

雙曲線的漸近線為：，

由點到直線的距離公式有：.

∴橢圓方程：

（2）易知直線的斜率存在，設直線的方程為，代入，消去并整理得：

，

要與相交于兩點，則應有：

設，

則有：，.

又 .

又：，所以有： ，

，②

將，代入，消去并整理得：，

要有兩交點，則 .③

由①②③有：

設、.

有：，

.

將代入有：

.

,令,

令 ,.

所以在內恒成立，故函數在內單調遞增，

故 .