Question

某公司有價值a萬元的一條流水線，要提高該流水線的生產能力，就要對其進行技術改造，從而提高產的附加值．改造需要投入，假設附加值y（萬元）與技術改造投入x（萬元）之間的關系滿足：①y與（a-x）和x²的乘積成正比；②當x=

a

2

時，y=a³；③0≤

x

2(a-x)

≤t，其中常數t∈（0，2]．
（1）設y=f（x），求函數f（x）的解析式與定義域；
（2）求出附加值y的最大值，并求此時的技術改造投入x．

Answer 1

分析：（1）設y=k（a-x）•x²，利用當x=

a

2

時，y=a³；求出k=8，從而可得函數表達式，即可求得y=f（x）的定義域；
（2）利用函數單調性與導數關系，進行求最值．

解答：解：（1）設y=k（a-x）•x²，
∵當x=

a

2

時，y=a³；
∴k=8，
∴y=8（a-x）•x²，
∵y＞0，∴0＜x＜a，又由0≤

x

2(a-x)

≤t，得x≤

2at

1+2t

=a•

2t

1+2t

＜a．
所以定義域為（0，

2at

1+2t

]；
（2）y=8（a-x）•x²=-8x³+8ax²，
y′=-16x²+16ax．=-16x（x-a）
在（0，

2at

1+2t

]上，
y′＞0，f（x）單調遞增，當x=

2at

1+2t

時，y的最大值為f（

2at

1+2t

）=

32a3t2

(1+2t)3

點評：本題考查函數解析式的確定，考查導數的工具作用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．