Question

某公司有價值a萬元的一條生產流水線，要提高該生產流水線的生產能力，就要對其進行技術改造，改造就需要投入資金，相應就要提高生產產品的售價．假設售價y萬元與技術改造投入x萬元之間的關系滿足：
①y與a-x和x的乘積成正比；②x=

a

2

時y=a²；
③0≤

x

2(a-x)

≤t其中t為常數，且t∈[0，1]．
（1）設y=f（x），試求出f（x）的表達式，并求出y=f（x）的定義域；
（2）求出售價y的最大值，并求出此時的技術改造投入的x的值．

Answer 1

分析：（1）f（x）的表達式好列，再求函數的定義域時，要注意條件③的限制性．
（2）本題為含參數的二次函數在特定區間上求最值，結合二次函數的圖象及單調性解決，注意分類討論．

解答：解：（1）設y=k(a-x)x，當x=

a

2

時y=a2，可得k=4，∴y=4（a-x）x∴定義域為[0，

2at

1+2t

]，t為常數，t∈[0，1]
（2）y=4(a-x)x=-4(x-

a

2

)2+a2
當

2at

1+2t

≥

a

2

時，即

1

2

≤t≤1，x=

a

2

時，ymax=a2
當

2at

1+2t

＜

a

2

時，即0≤t＜

1

2

時，y=4（a-x）在[0，

2at

1+2t

]上為增函數，
則當x=

2at

1+2t

時，ymax=

8at2

(1+2t)2

從而當

1

2

≤t≤1時，投入x=

a

2

時，售價y最大為a²萬元；
當0≤t＜

1

2

時，投入x=

2at

1+2t

時，售價y最大為

8at2

(1+2t)2

萬元．

點評：本題考查函數的應用問題，函數的解析式、二次函數的最值及分類討論思想，牽扯字母太多，容易出錯．