Question

某公司有價(jià)值a萬元的一條流水線，要提高該流水線的生產(chǎn)能力，就要對其進(jìn)行技術(shù)改造，從而提高產(chǎn)品附加值，改造需要投入，假設(shè)附加值y萬元與技術(shù)改造投入x萬元之間的關(guān)系滿足：
①y與2a-x和x-a的乘積成正比；②x=

3a

2

時(shí)，y=a2；③y＞0．
（I）設(shè)y=f（x），求f（x）表達(dá)式，并求y=f（x）的定義域；
（II）求每萬元技術(shù)改造投入所獲得的平均附加值的最大值，并求出此時(shí)的技術(shù)改造投入．

Answer 1

分析：（I）設(shè)y=k（2a-x）（x-a），利用當(dāng)x=

3a

2

時(shí)，y=a2，可求k=4，從而可得函數(shù)表達(dá)式，即可求得y=f（x）的定義域；
（II）確定每萬元技術(shù)改造投入函數(shù)解析式，利用基本不等式，即可求得結(jié)論．

解答：解：（I）設(shè)y=k（2a-x）（x-a），
因?yàn)楫?dāng)x=

3a

2

時(shí)，y=a2，所以k=4
所以y=4（2a-x）（x-a）
因?yàn)?（2a-x）（x-a）＞0，所以a＜x＜2a
所以定義域?yàn)椋╝，2a）；
（II）

y

x

=-4（x+

2a2

x

）+12a≤-4•2

x• 2a2 x

+12a=(12-8

2

)a
當(dāng)且僅當(dāng)x=

2a2

x

，即x=

2

a時(shí)，每萬元技術(shù)改造投入所獲得的平均附加值的最大．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)解析式的確定，考查基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．