Question

已知函數f（x）=ax²+bx+1
（1）若f（x）＞0的解集是{x|x＜3或x＞4}，求實數a，b的值．
（2）若f（-1）=1且f（x）＜2恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意得：a＞0且3，4是方程ax²+bx+1=0的兩個根．利用根與系數的關系解出即可．
（2）由f（-1）=1，解得a=b．而f（x）＜2恒成立，即：ax²+bx-1＜0恒成立．所以a＜0且△=b²+4a＜0，解出即可．

解答：解 （1）由題意得：a＞0且3，4是方程ax²+bx+1=0的兩個根．
所以

3+4=- b a 3×4= 1 a

，解得a=

1

12

，b=-

7

12

．
（2）由f（-1）=1，解得a=b，
而f（x）＜2恒成立，即：ax²+bx-1＜0恒成立．
所以a＜0且△=b²+4a＜0，即a²+4a＜0，解得-4＜a＜0，
故所求的a的取值范圍是（-4，0）．

點評：熟練掌握一元二次不等式的解法與判別式的關系、根與系數的關系是解題的關鍵．