Question

【題目】已知函數(shù)，滿足.設(shè)為上任一點(diǎn),過作的切線,其斜率滿足

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）若數(shù)列滿足.設(shè)為正常數(shù).

①求；

②若不等式對任意的恒成立，則實(shí)數(shù)是否存在最大值?若存在,請求出這個(gè)值；若不存在,請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ①；② 的最大值為.

【解析】

(1)求出，結(jié)合其單調(diào)性，根據(jù)已知條件，求得即，進(jìn)而可求的值.

(2) ①由題意知，可證明是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，從而可求.

②結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷出，從而，即可求出 的值.

(1)解：由題意知，是切點(diǎn).

，.

，， 即.

，在單調(diào)遞增，.

由題意知，,.

，所以，故.

(2) ①解:由題意知,.

，，

則，

.

，

是以為首項(xiàng)， 為公比的等比數(shù)列.

，.

②證明:因?yàn)椴坏仁?/span>對任意的恒成立，

所以對任意的恒成立.

設(shè)，，

則，.

設(shè).

當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)，，，

.

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，

，，

綜上所述， 即 的最大值為.