Question

【題目】已知數列，，數列滿足，n．

（1）若，，求數列的前2n項和；

（2）若數列為等差數列，且對任意n，恒成立．

①當數列為等差數列時，求證：數列，的公差相等；

②數列能否為等比數列？若能，請寫出所有滿足條件的數列；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）①見解析②數列不能為等比數列，見解析

【解析】

（1）根據數列通項公式的特點，奇數項為等差數列，偶數項為等比數列，選用分組求和的方法進行求解；

（2）①設數列的公差為，數列的公差為，當n為奇數時，得出；當n為偶數時，得出，從而可證數列，的公差相等；

②利用反證法，先假設可以為等比數列，結合題意得出矛盾，進而得出數列不能為等比數列．

（1）因為，，所以，且，

由題意可知，數列是以1為首項，2為公差的等差數列，

數列是首項和公比均為4的等比數列，

所以；

（2）①證明：設數列的公差為，數列的公差為，

當n為奇數時，，

若，則當時，，

即，與題意不符，所以，

當n為偶數時，，，

若，則當時，，

即，與題意不符，所以，

綜上，，原命題得證；

②假設可以為等比數列，設公比為q，

因為，所以，所以，，

因為當時，

，

所以當n為偶數，且時，，

即當n為偶數，且時，不成立，與題意矛盾，

所以數列不能為等比數列．