Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n且Sn2-2S_n-a_nS_n+1=0，n=1，2，3…
（1）求a₁，a₂
（2）求S_n與S_n-1（n≥2）的關系式，并證明數列{

1

Sn-1

}是等差數列．
（3）求S₁•S₂•S₃…S₂₀₁₀•S₂₀₁₁的值．

Answer 1

分析：（1）對已知等式分別取n=1、n=2，解關于a₁、a₂的方程，即可得到a₁，a₂的值．
（2）將a_n=S_n-S_n-1代入已知等式，化簡整理得到S_n=

1

2-Sn-1

，代入并整理得到

1

Sn-1

=-1+

1

Sn-1-1

，由此即可得到數列{

1

Sn-1

}是以-2為首項，公差等于-1的等差數列．
（3）由（2）結合等差數列的通項公式，可得S_n=

n

n+1

，再分別取n=1、2、3、…、2011代入題中的式子，化簡即可得到S₁•S₂•S₃•…•S₂₀₁₀•S₂₀₁₁的值

解答：解：（1）∵S_n²-2S_n-a_nS_n+1=0，
∴取n=1，得S₁²-2S₁-a₁S₁+1=0，即a₁²-2a₁-a₁²+1=0，解之得a₁=

1

2

，
取n=2，得S₂²-2S₂-a₂S₂+1=0，即（

1

2

+a₂）²-2（

1

2

+a₂）-a₂（

1

2

+a_2）+1=0，解之得a₂=

1

6

（2）由題設S_n²-2S_n-a_nS_n+1=0，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，代入上式，化簡得S_nS_n-1-2S_n+1=0
∴S_n=

1

2-Sn-1

，可得S_n-1-1=

1

2-Sn-1

-1=

Sn-1-1

2-Sn-1

∴

1

Sn-1

=

2-Sn

Sn-1

=-1+

1

Sn-1-1

∴數列{

1

Sn-1

}是以

1

S1-1

=-2為首項，公差d=-1的等差數列．
（3）由（2）得

1

Sn-1

=-2+（n-1）×（-1）=-n-1，
可得S_n=1-

1

n+1

=

n

n+1

∴S₁•S₂•S₃•…•S₂₀₁₀•S₂₀₁₁=

1

2

×

2

3

×

3

4

×…×

2010

2011

×

2011

2012

=

1

2012

即S₁•S₂•S₃•…•S₂₀₁₀•S₂₀₁₁的值為

1

2012

．

點評：本題給出數列{a_n}的前n項和S_n與a_n的關系式，求通項公式并證明新的等差數列，著重考查了等差數列的通項公式、數列前n項和S_n與a_n的關系等知識，屬于中檔題．