Question

給出下列五個命題：
①若f（x）=sin（2x+φ）是偶函數，則；
②函數在區間上是單調遞增；
③已知a，b∈R，則“a＞b＞0”是“”的充分不必要條件；
④若xlog₃4=1，則；
⑤在△ABC中，若tanA+tanB+tanC＞0，則△ABC必為銳角三角形．
其中正確命題的序號是    （寫出所有正確命題的序號）．

Answer 1

【答案】分析：①由偶函數的性質可得對稱軸為y軸且該點取得函數的最值，則f（0）=±1，代入可求φ
②利用輔助角公式化簡可得，函數=cos（2x+）利用余弦函數的單調性判斷
③結合指數函數的單調性及定義域判斷
④由xlog₃4=1⇒x=log₄3，代入求解即可
⑤由三角形的內角和定理可知，三角形的內角最多有一個鈍角，故可設A，B為銳角，tanA＞0，tanB＞0
利用內角和公式可把tanA+tanB+tanC＞0⇒tanA+tanB-tan（A+B）＞0，利用兩角和的正切公式展開整理可得tanAtanB＞1，則可得tanA＞cotB=tan（，則有A，所以有A+B，從而可得C
解答：解：①若f（x）=sin（2x+φ）是偶函數，則由偶函數的性質可得對稱軸為y軸且該點取得函數的最值，則f（0）=±1，代入可得，φ=故①錯誤
②函數=cos2x=，在區間上是單調遞減，故②錯誤
③a＞b＞0⇒，但由只可得a＞b，即a＞b＞0是的充分不必要條件，故③正確
④由xlog₃4=1⇒x=log₄3，則，故④正確
⑤由三角形的內角和定理可知，三角形的內角最多有一個鈍角，故可設A，B為銳角，tanA＞0，tanB＞0
利用內角和公式可把tanA+tanB+tanC＞0⇒tanA+tanB-tan（A+B）＞0，利用兩角和的正切公式展開整理可得tanAtanB＞1，則可得tanA＞cotB=tan（，則有A，所以有A+B，從而可得C故⑤正確
故答案為：③④⑤
點評：本題綜合考查了正弦函數的奇偶性，三角函數的輔助角公式的運用，指數函數的定義域、單調性及特殊點的應用，對數的換底公式及指數的基本運算，