Question

給出下列五個命題：其中正確的命題有

②③④

（填序號）．
①函數y=sinx（x∈[-π，π]）的圖象與x軸圍成的圖形的面積S=

∫

π -π

sinxdx；
②

C

r+1 n+1

=

C

r+1 n

+

C

r n

；
③在（a+b）ⁿ的展開式中，奇數項的二項式系數之和等于偶數項的二項式系數之和；
④i+i²+i³+…i²⁰¹²=0；
⑤用數學歸納法證明不等式

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n

＞

13

24

，(n≥2，n∈N*)的過程中，由假設n=k成立推到n=k+1成立時，只需證明

1

k+1

+

1

k+2

+

1

k+3

+…+

1

2k

+

1

2k+1

+

1

2(k+1)

＞

13

24

即可．

Answer 1

分析：①利用定積分的幾何意義即可求出；
②由組合數的性質即可判斷出；
③利用二項展開式的性質即可判斷出；
④根據i的周期性或等比數列的前n項和公式即可得出；
⑤利用數學歸納法的要求即可判斷出．

解答：解：①函數y=sinx（x∈[-π，π]）的圖象與x軸圍成的圖形的面積=-

∫

0 -π

sinxdx+

∫

π 0

sinxdx=2×cosx

|

0 -π

=4，而面積S=

∫

π -π

sinxdx=0，因此不正確；
②由組合數的性質可知：在n∈N^*，r∈N的條件下所給的式子成立，因此正確；
③在（a+b）ⁿ的展開式中，分別令a=1，b=-1，則

C

0 n

+

C

2 n

+…=

C

1 n

+

C

3 n

+…，即奇數項的二項式系數之和等于偶數項的二項式系數之和，因此正確；
④根據i⁴ⁿ=1，i⁴ⁿ⁺¹=i，i⁴ⁿ⁺²=-1，i⁴ⁿ⁺³=-i，則i+i²+i³+…i²⁰¹²=

i(i2012-1)

i-1

=

i(1-1)

i-1

=0，因此正確；
⑤用數學歸納法證明不等式

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n

＞

13

24

，(n≥2，n∈N*)的過程中，由假設n=k成立推到n=k+1成立，
只需證明

1

(k+1)+1

+

1

(k+1)+2

+…+

1

2(k+1)

＞

13

24

成立即可，因此⑤不正確．
綜上可知：只有②③④正確．
故答案為②③④．

點評：熟練掌握微積分基本定理、組合數的性質、二項展開式的性質、i的周期性及等比數列的前n和公式、數學歸納法是解題的關鍵．