Question

給出下列五個命題：
①若4^a=3，log₄5=b，則log4

9

5

=a2-b；
②函數f(x)=0.51+2x-x2的單調遞減區間是[1，+∞）；
③m≥-1，則函數y=lg（x²-2x-m）的值域為R；
④若映射f：A→B為單調函數，則對于任意b∈B，它至多有一個原象；
⑤函數y=e^x的圖象與函數y=f（x）的圖象關于直線y=x對稱，則f（e³）=3．
其中正確的命題是

③④⑤

（把你認為正確的命題序號都填在橫線上）

Answer 1

分析：由已知可得log₄3=a，log₄5=b，結合對數的運算性質，可判斷①的真假；
根據指數函數的單調性，二次函數的單調性及復合函數“同增異減”的原則，可判斷②的真假；
由于對數函數值域是R，則只需讓真數取遍（0，+∞）內的所有實數即可，即需讓（0，+∞）為函數t=x²-2x-m值域的子集，求出m的范圍可判斷③的真假．
根據單調函數的圖象和性質及函數一一映射的定義，可判斷④的真假
根據同底的指數函數和對數函數互為反函數，圖象關于直線y=x對稱，求出函數y=f（x）的解析式，代入求值，可判斷⑤的真假．

解答：解：由4^a=3可得log₄3=a，結合log₄5=b，可得log4

9

5

=log₄9-log₄5=2log₄3-log₄5=2a-b，故①錯誤；
函數y=0.5^u為減函數，函數u=1+2x-x²在區間[1，+∞）上也為減函數，根據復合函數“同增異減”的原則，可得函數在區間[1，+∞）上為增函數，故②錯誤；
由于對數函數y=lg（x²-2x-m）的值域是R，則需讓真數t=x²-2x-m的值取遍（0，+∞）內的所有實數，即△=4+4m≥0，解得m≥-1，故③正確．
對于④，根據單調函數的定義知函數必為一一映射，反之，由一一映射確定的函數關系不一定是單函數，所以④正確．
函數y=e^x的圖象與函數y=f（x）的圖象關于直線y=x對稱，則y=f（x）=lnx，∴f（e³）=lne³=3，故⑤正確
故答案為：③④⑤

點評：本題以命題的真假判斷為載體考查了對數的運算性質，復合函數的單調性，函數的值域，函數的單調性，反函數等知識點，是函數圖象和性質的綜合應用，難度中檔．