Question

函數f（x）和g（x）的圖象關于原點對稱，且f（x）=x²+2x
（Ⅰ）求函數g（x）的解析式；
（Ⅱ）解不等式g（x）≥f（x）-|x-1|．
（Ⅲ）若h（x）=g（x）-λf（x）+1在[-1，1]上是增函數，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在函數y=f（x）的圖象上任意一點Q（x₀，y₀），設關于原點的對稱點為P（x，y），再由中點坐標公式，求得Q的坐標代入f（x）=x²+2x即可．
（Ⅱ）將f（x）與g（x）的解析式代入轉化為2x²-|x-1|≤0，再通過分類討論去掉絕對值，轉化為一元二次不等式求解．
（Ⅲ）將f（x）與g（x）的解析式代入可得h（x）=-（1+λ）x²+2（1-λ）x+1，再用二次函數法研究其單調性．

解答：解：（Ⅰ）設函數y=f（x）的圖象上任意一點Q（x₀，y₀）關于原點的對稱點為P（x，y），
則

x0+x 2 =0 y0+y 2 =0

即

x0=-x y0=-y.

∵點Q（x₀，y₀）在函數y=f（x）的圖象上
∴-y=x²-2x，即y=-x²+2x，故g（x）=-x²+2x
（Ⅱ）由g（x）≥f（x）-|x-1|，可得2x²-|x-1|≤0
當x≥1時，2x²-x+1≤0，此時不等式無解．
當x＜1時，2x²+x-1≤0，解得-1≤x≤

1

2

．
因此，原不等式的解集為[-1，

1

2

]．
（Ⅲ）h（x）=-（1+λ）x²+2（1-λ）x+1
①當λ=-1時，h（x）=4x+1在[-1，1]上是增函數，∴λ=-1
②當λ≠-1時，對稱軸的方程為x=

1-λ

1+λ

．
ⅰ）當λ＜-1時，

1-λ

1+λ

≤-1，解得λ＜-1．
ⅱ）當λ＞-1時，

1-λ

1+λ

≥1，解得-1＜λ≤0．綜上，λ≤0．

點評：本題主要考查求對稱區間上的解析式，解不等式及研究函數的單調性，屬中檔題．