Question

（2012•綿陽二模）對于具有相同定義域D的函數f（x）和g（x），若對任意的x∈D，都有|f（x）-g（x）|≤1，則稱f（x）和g（x）在D上是“密切函數”．給出定義域均為D={x|1≤x≤3}的四組函數如下：
①f（x）=x²-x+1，g（x）=3x-2
②f（x）=x³+x，g（x）=3x²+x-1
③f（x）=log₂（x+1），g（x）=3-x
④f（x）=

3

2

sin（

π

3

x+

π

3

），g（x）=

1

4

cos

π

3

x-

3

4

sin

π

3

x
其中，函數f（x）印g（x）在D上為“密切函數”的是

①④

．

Answer 1

分析：對照新定義，構造新函數h（x）=f（x）-g（x），利用導數的方法確定函數的單調性，從而確定函數的值域，利用若對任意的x∈D，都有|f（x）-g（x）|≤1，則稱f（x）和g（x）在D上是“密切函數”，即可得到結論．

解答：解：①f（x）=x²-x+1，g（x）=3x-2
設h（x）=f（x）-g（x）=x²-4x+3
h（x）在[1，2]上單調減，在[2，3]上單調增
∴h（x）的最大值為0，最小值為-1
∴對任意的x∈[1，3]，都有|f（x）-g（x）|≤1，符合定義
②f（x）=x³+x，g（x）=3x²+x-1
設h（x）=f（x）-g（x）=x³+3x²+1
h′（x）=3x²+6x，x∈[1，3]，h′（x）＞0
h（x）在[1，3]上單調增
∴h（x）的最大值為55，最小值為5，
∴對任意的x∈[1，3]，|f（x）-g（x）|≤1不成立，不符合定義
③f（x）=log₂（x+1），g（x）=3-x
設h（x）=f（x）-g（x）=log₂（x+1）+x-3
h（x）在[1，3]上單調增
∴h（x）的最大值為2，最小值為-1，
∴對任意的x∈[1，3]，|f（x）-g（x）|≤1不成立，不符合定義
④f（x）=

3

2

sin（

π

3

x+

π

3

），g（x）=

1

4

cos

π

3

x-

3

4

sin

π

3

x
設h（x）=f（x）-g（x）=

3

2

sin（

π

3

x+

π

3

）-[

1

4

cos

π

3

x-

3

4

sin

π

3

x]
=

3

2

sin（

π

3

x+

π

3

）-

1

2

cos（

π

3

x+

π

3

）
=sin（

π

3

x+

π

6

）
∵x∈[1，3]，∴sin（

π

3

x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]
∴對任意的x∈[1，3]，都有|f（x）-g（x）|≤1，符合定義
故答案為：①④

點評：本題主要考查了新定義題，主要涉及了函數的單調性，函數的最值求法等，同時考查計算能力，屬于中檔題．