Question

已知函數f（x）=asinxcosx+

3

acos²x-

3

2

a+1（a＞0）的定義域為R，當-

7π

12

≤x≤-

π

12

時，f（x）的最大值為2
（1）求a的值
（2）用五點法作出該函數在長度為一個周期的閉區間上的圖象
（3）寫出該函數的單調遞增區間及對稱中心的坐標．

Answer 1

分析：（1）先利用二倍角公式和輔助角公式把函數f（x）化為y=Asin（ωx+φ）+h的形式，利用正弦函數的性質求出最大值，又因為已知函數的最大值為2，就可求出參數a的值．
（2）利用“五點法”作圖，令2x+

π

3

分別取0，

π

2

，π，

3π

2

，2π，求出對應的x與y的值，就可得到函數在一個周期內的五個關鍵點的坐標，畫出見圖．
（3）令2x+

π

3

屬于正弦函數的增區間，解出x的范圍即為函數f（x）的單調增區間．
令2x+

π

3

=kπ，k∈Z，解得x的值為函數對稱中心的橫坐標，因為函數f(x)=2sin(2x+

π

3

)+1的圖象是函數y=2sin(2x+

π

3

)的圖象向上平移一個單位長度得到的，所以函數f(x)=2sin(2x+

π

3

)+1的對稱中心的縱坐標為1．就可得到函數f(x)=2sin(2x+

π

3

)+1的對稱中心．

解答：解：（1）f（x）=asinxcosx+

3

acos²x-

3

2

a+1
=

asin2x

2

+

3 a(cos2x+1)

2

-

3 a

2

+1
=

asin2x

2

+

3 acos2x

2

+1
=a（sin2xcos

π

3

+cos2xsin

π

3

）+1
=asin（2x+

π

3

）+1
當-

7π

12

≤x≤-

π

12

，則-

5π

6

≤2x+

π

3

≤

π

6

∴當2x+

π

3

=

π

6

，f（x）有最大值為

a

2

+1，
又∵f（x）的最大值為2，∴

a

2

+1=2，
解得：a=2．
（2）由（1）知f(x)=2sin(2x+

π

3

)+1
令2x+

π

3

分別取0，

π

2

，π，

3π

2

，2π，則對應的x與y的值如下表

x	- π 6	π 12	π 3	7π 12	5π 6
2x+ π 3	0	π 2	π	3π 2	2π
y	1	3	-1	1	3

畫出函數在區間[-

π

6

，

5π

6

]的圖象如下圖

（2）f(x)=2sin(2x+

π

3

)+1
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，k∈Z
解得，-

5

12

π+kπ≤x≤

π

12

+kπ，k∈z
∴函數的增區間為[-

5

12

π+kπ，

π

12

+kπ]，k∈z．
令2x+

π

3

=kπ，k∈Z，解得x=

kπ

2

-

π

6

，k∈Z，
∴函數f(x)=2sin(2x+

π

3

)+1的對稱中心的橫坐標為

kπ

2

-

π

6

，k∈Z，
又∵函數f(x)=2sin(2x+

π

3

)+1的圖象是函數y=2sin(2x+

π

3

)的圖象向上平移一個單位長度得到的，
∴函數f(x)=2sin(2x+

π

3

)+1的對稱中心的縱坐標為1．
∴對稱中心坐標為（

kπ

2

-

π

6

，1）k∈Z

點評：本題主要考查應用三角函數的公式把三角函數化簡為y=Asin（ωx+φ）+h的形式，再求圖象與性質，屬于三角函數的綜合題．