Question

如果函數的定義域為R，對于定義域內的任意，存在實數使得成立，則稱此函數具有“性質”。
(1)判斷函數是否具有“性質”，若具有“性質”，求出所有的值；若不具有“性質”，說明理由；
(2)已知具有“性質”，且當時，求在上有最大值；
(3)設函數具有“性質”，且當時，.若與交點個數為2013，求的值.

Answer 1

(1)  ，(2) 當時，，當時，， (3) .

試題分析：(1)新定義問題，必須從定義出發,實際是對定義條件的直譯. 由得，(2)由 性質知函數為偶函數. ∴當時，∵在單調增，∴時，，當時，∵在單調減，在上單調增，又，∴時，，當時，∵在單調減，在上單調增，又，∴時，. (3) ∵函數具有“性質” ∴∴∴函數是以2為周期的函數. 當時，為偶函數，因此易得函數是以1為周期的函數.結合圖像得: ①當時，要使得與有2013個交點，只要與在區間有2012個交點，而在內有一個交點∴過，從而得,②當時，同理可得,③當時，不合題意, 綜上所述.
(1)由得
∴
∴函數具有“性質”，其中       2分
(2) ∵具有“性質”
∴
設，則，∴
∴              4分
當時，∵在單調增，∴時，      5分
當時，∵在單調減，在上單調增
又，∴時，        6分
當時，∵在單調減，在上單調增
又，∴時，            7分
綜上得當時，，當時，  8分
(3) ∵函數具有“性質”
∴
∴，
∴函數是以2為周期的函數                  9分
設，則，

再設
當，則

當，則

∴對于，都有
而
∴
∴函數是以1為周期的函數                12分
①當時，要使得與有2013個交點，只要與在區間有2012個交點，而在內有一個交點
∴過，從而得              14分
②當時，同理可得
③當時，不合題意
綜上所述                           16分