Question

P為橢圓＋＝1上任意一點，F₁、F₂為左、右焦點，如圖所示．
(1)若PF₁的中點為M，求證：|MO|＝5－|PF₁|；
(2)若∠F₁PF₂＝60°，求|PF₁|·|PF₂|之值；
(3)橢圓上是否存在點P，使·＝0，若存在，求出P點的坐標， 若不存在，試說明理由

Answer 1

(1)證明：在△F₁PF₂中，MO為中位線，
∴|MO|＝＝
＝a－＝5－|PF₁|.
(2)解：∵ |PF₁|＋|PF₂|＝10，
∴|PF₁|²＋|PF₂|²＝100－2|PF₁|·|PF₂|，
在△PF₁F₂中，cos 60°＝，
∴|PF₁|·|PF₂|＝100－2|PF₁|·|PF₂|－36，
∴|PF₁|·|PF₂|＝.
(3)解：設點P(x₀，y₀)，則＋＝1.①
易知F₁（-3，0），F₂（3，0），故PF₁＝(－3－x₀，－y₀)，
PF₂＝(－3－x₀，－y₀)，
∵PF₁·PF₂=0，∴－9＋＝0，②
由①②組成方程組，此方程組無解，故這樣的點P不存在．

略