Question

給出下列5個命題：①函數f（x）=x|x|+ax+m是奇函數的充要條件是m=0；②若函數f（x）=lg（ax+1）的定義域是{x|x＜1}，則a＜-1；③若log_a2＜log_b2，則

lim

n→∞

an-bn

an+bn

=1（其中n∈N^*）；④圓：x²+y²-10x+4y-5=0上任意一點M關于直線ax-y-5a=2的對稱點M'也在該圓上；⑤函數y=cos|x|是周期函數．其中正確結論的序號是

①④⑤

．（填寫你認為正確的所有結論序號）

Answer 1

分析：依據各選項中的已知條件，逐一分析各個各個選項是否正確，把正確的選項找出來，填在橫線上．

解答：解：①函數f（x）的定義域是實數集R，關于原點對稱，此函數奇函數的充要條件是f（-x）=-f（x），即-x|x|-ax+m=-x|x|-ax-m，即 m=0，故①正確．
②函數f（x）=log（ax+1）的定義域是{x|x＜l}，故 a＜0，且ax+1＞0的解集是x＜l，故只有a=-1，故②不正確．
③∵log_a2＜log_b2，∴a＞b＞1，或者

b＞1 0＜a ＜1

，
當a＞b＞1時，則

lim

n→∞

an-bn

an+bn

=

lim

n→∞

 

1- ( b a )n

1+( b a )n

=

1-0

1+0

=1，
當 b＞1 且 0＜a＜1時，則

lim

n→∞

an-bn

an+bn

=

lim

n→∞

 

0-(-b)n

0+bn

=（-1）ⁿ=±1，
故③不正確．
④圓：x²+y²-10x+4y-5=0 即 （x-5）²+（y+2）²=34，圓心為（5，-2）
直線ax-y-5a=2 即a（x-5）-y-2=0，此直線過定點（5，-2），即圓的圓心，故圓：x²+y²-10x+4y-5=0 關于此直線
對稱，故④正確．
⑤函數y=cos|x|是周期為π的周期函數．故⑤正確．
綜上，①④⑤正確，②③不正確，
故答案為 ①④⑤．

點評：本題考查函數的奇偶性、周期性、定義域、直線過定點、點關于直線對稱，以及極限的運算，體現了等價轉化和分類討論的數學思想．