Question

（2011•自貢三模）給出下列5個命題：
①0＜a≤

1

5

是函數f（x）=ax²+2（a-1）x+2在區間（-∞，4]上為單調減函數的充要條件
②如圖所示，“嫦娥探月衛星”沿地月轉移軌道飛向月球，在月球附近一點P進入以月球球心F為一個焦點的橢圓敘道I繞月飛行，之后衛星在P點第二次變軌進入仍以F為一個焦點的橢圓軌道II繞月飛行，最終衛星在P點第三次變軌進入以F為圓心的圓形軌道III繞月飛行，若用2c_l和2c₂分別表示橢圓軌道I和II的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道I和II的長軸的長，則有a₁-c₁=a₂-c₂；
③y=f（x）與它的反函數y=f^-1（x）的圖象若相交，則交點必在直線y=x上；
④若a∈（π，

5π

4

），則

1

1-tanα

＞1+tanα＞

2tanα

；
⑤函數f（x）=

e-x+3

e-x+2

（e是自然對數的底數）的最小值為2．
其中所有真命題的代號有

②④

．

Answer 1

分析：①利用二次函數的性質，由其在區間（-∞，4]上為單調減函數解出參數的取值范圍，依據依據充要條件的定義進行判斷即可，
②由橢圓的性質進行判斷即可，
③利用特例說明其不成立即可，如指數函數y=(

1

16

)x的圖象與對數函數y=log

1

16

x的圖象的交點有P（

1

2

，

1

4

），Q（

1

4

，

1

2

），就是不在直線y=x上的兩個交點，由此可知原結論不正確，
④由a∈（π，

5π

4

），可知0＜tanα＜1，可得（1-tanα）（1+tan）=1-tan²α＜1，于是

1

1-tanα

＞1+tanα；再根據均值不等式可得1+tanα＞

2tanα

，
⑤由均值不等式可判斷出不存在實數x使得等號成立，故函數f（x）不存在最小值．

解答：解：對于①：函數f（x）=ax²+2（a-1）x+2在區間（-∞，4]上為單調減函數，若a=0時成立，若a＞0時，必有-

a-1

a

≥4解得a≤

1

5

，故可得出0≤a≤

1

5

，由此知①中的條件與結論之間是充分不必要條件．故不是真命題；
②由橢圓的性質知a₁-C_l=a₂-c₂，即有a₂+C_l=a₁+c₂，此四數構成一個等差數列，由基本不等式得c₁a₂＞a₁c₂，故是真命題；
③指數函數y=(

1

16

)x的圖象與對數函數y=log

1

16

x的圖象的交點有P（

1

2

，

1

4

），Q（

1

4

，

1

2

），就是不在直線y=x上的兩個交點，故不是真命題；
④∵由a∈（π，

5π

4

），可知0＜tanα＜1，可得（1-tanα）（1+tan）=1-tan²α＜1，再根據均值不等式可得1+tanα＞

2tanα

，則

1

1-tanα

＞1+tanα＞

2tanα

，故是真命題；
⑤由均值不等式函數f（x）=f（x）=

e-x+3

e-x+2

=

e-x+2

+

1

e-x+2

≥2，由e^-x+2=1知不存在實數x使得等號成立，故函數f（x）不存在最小值，故不是真命題．
故答案為：②④．

點評：本題作為一個判斷命題真假的題目，涉及到了函數的單調性橢圓的性質等內容，題目較難判斷，每一個知識點都是高考中比較重要的，從中總結下對命題的考試與這些知識的銜接．綜合考查了函數的單調性、最值，均值不等式，反函數等有關知識，對學生要求較高．屬于難題．