Question

（2011•自貢三模）已知函數，y=f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）
（Ⅰ）要使f（x）在（0，1）上單調遞增，求a的取值范圍；
（Ⅱ）當a＞0時，若函數f（x）的極小值和極大值分別為1、

31

27

，試求函數y=f（x）的解析式；
（Ⅲ）若x∈[0，1]時，y=f（x）圖象上任意一點處的切線傾斜角為θ，當0≤θ≤

π

4

．時，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先求導函數f′（x），要使f（x）在區間（0，1）上單調遞增，只需x∈（0，1）時，f′（x）＞0恒成立，然后轉化成 a＞

3

2

x恒成立，即可求出a的范圍；
（II）由（I）中導函數的解析式，我們易求出函數取極值時x的值，然后根據函數f（x）的極小值和極大值分別為1、

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，構造關于a，b的方程，解方程后即可求出函數y=f（x）的解析式；
（III）根據導數的幾何意義可知tanθ=f′（x），然后根據傾斜角為θ的范圍求出f′（x）的范圍在x∈[0，1]恒成立，將a分離出來，使之恒成立即可求出a的范圍．

解答：解：（I）f′（x）=-3x²+2ax，
由題設，當x∈（0，1）時，f′（a）＞0恒成立，
即-3x²+2ax＞0恒成立，
∴a＞

3

2

x恒成立，
∴a≥

3

2

（II）由（I）得，令f′（x）=-3x²+2ax=0
則x=0，或x=

2a

3

又∵a＞0時，函數f（x）的極小值和極大值分別為1、

31

27

，
故f（0）=1，f（

2a

3

）=

31

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解得a=1，b=1
∴f（x）=-x³+x²+1
（III）當x∈[0，1]時，tanθ=f′（x）=-3xh3+2ax
∵θ∈[0，

π

4

]．∴0≤f'（x）≤1．
∴0≤-3x²+2ax≤1
在x∈[0，1]恒成立，由（1）知，當-3x²+2ax≥0時，a≥

3

2

，
由 -3x2+2ax≥0⇒a≤

1

2

(3x+

1

x

)恒成立，
又

1

2

(3x+

1

x

)min=

3

，∴a≤

3

∴

3

2

≤a≤

3

點評：本小題主要考查函數的概念、性質、圖象及導數等基礎知識，考查靈活運用轉化與劃歸的思想方法進行探索、分析與解決問題的綜合能力，屬于中檔題．