Question

（2011•自貢三模）函數f（x）=-x³-8x²-7x+5的圖象在X=-1處的切線斜率為k，則（2x-

1

2x

）^k的展開式的常數項是

-20

．

Answer 1

分析：求出導函數，令導函數中的x為-1求出圖象在X=-1處的切線斜率k的值；將k的值代入二項式；利用二項展開式的通項公式求出展開式的通項，令x的指數為0，求出r的值；將r的值代入通項求出展開式的常數項．

解答：解：f′（x）=-3x²-16x-7
∴k=-3+16-7=6
∴(2x-

1

2x

)k=(2x-

1

2x

)6的展開式的通項為Tr+1=26-r(-

1

2

)r

C

r 6

x6-2r
令6-2r=0得r=3
所以展開式的常數項為23(-

1

2

)3

C

3 6

=-20
故答案為：-20

點評：本題考查導數的幾何意義：在切點處的導數值等于切線的斜率、考查利用二項展開式的通項公式解決二項展開式的特定項問題．