Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，若對于任意的n∈N^*，都有S_n=2a_n-3n．
（1）求數列{a_n}的首項a₁與遞推關系式：a_n+1=f（a_n）；
（2）先閱讀下面定理：“若數列{a_n}有遞推關系a_n+1=Aa_n+B，其中A、B為常數，且A≠1，B≠0，則數列是以A為公比的等比數列．”請你在第（1）題的基礎上應用本定理，求數列{a_n}的通項公式；
（3）求數列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

解：（1）令n=1，S₁=2a₁-3．∴a₁=3
又S_n+1=2a_n+1-3（n+1），S_n=2a_n-3n，
兩式相減得，a_n+1=2a_n+1-2a_n-3，（3分）
則a_n+1=2a_n+3（4分）
（2）按照定理：A=2，B=3，
∴{a_n+3}是公比為2的等比數列．
則a_n+3=（a₁+3）•2^n-1=6•2^n-1，∴a_n=6•2^n-1-3．（8分）
（3）∵a_n=6•2^n-1-3，
∴S_n=（6-3）+（6×2-3）+（6×3-3）+…+（6×2^n-1-3），
∴．（12分）
分析：（1）令n=1，由S₁=2a₁-3，知a₁=3，再由S_n+1=2a_n+1-3（n+1），S_n=2a_n-3n，知a_n+1=2a_n+1-2a_n-3，由此能求出a_n+1=2a_n+3．
（2）按照定理：A=2，B=3，{a_n+3}是公比為2的等比數列，由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（3）由a_n=6•2^n-1-3，知S_n=（6-3）+（6×2-3）+（6×3-3）+…+（6×2^n-1-3），由此能求出數列{a_n}的前n項和S_n．
點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要注意數列的通項公式的求法和等比數列前n項和的應用．