Question

已知函數y=f（x）的定義域為R⁺，對任意x，y∈R⁺，有恒等式f（xy）=f（x）+f（y）；且當x＞1時，f（x）＜0．
（1）求f（1）的值；
（2）求證：當x∈R⁺時，恒有；
（3）求證：f（x）在（0，+∞）上為減函數；
（4）由上一小題知：f（x）是（0，+∞）上的減函數，因而f（x）的反函數f^-1（x）存在，試根據已知恒等式猜想f^-1（x）具有的性質，并給出證明．

Answer 1

解：（1）令x=y=1，則f（1）=2f（1），∴f（1）=0
（2）證明：令y=，則f（1）=f（x）+f（），∴
（3）證明：設任意x，y∈R⁺，且x＜y，=a＞1
則f（x）-f（y）=f（x）-f（x•a）=f（x）-f（x）-f（a）=-f（a）
∵當x＞1時，f（x）＜0
∴f（a）＜0，-f（a）＞0
∴f（x）＞f（y）
∴f（x）在（0，+∞）上為減函數
（4）猜想f^-1（x）具有的性質，f^-1（0）=1
證明：因為原函數與反函數關于直線y=x對稱，
∵f（1）=0
∴f^-1（0）=1
分析：（1）令x=y=1，代入恒等式f（xy）=f（x）+f（y）即可
（2）令y=，則f（1）=f（x）+f（），由（1）即可得結論
（3）設任意x，y∈R⁺，且x＜y，利用函數單調性定義和已知當x＞1時，f（x）＜0，即可證明f（x）在（0，+∞）上為減函數
（4）利用互為反函數的函數圖象的對稱性，即可得反函數的性質
點評：本題考查了函數抽象表達式的應用，解題時要認真觀察，熟練運用單調性定義及函數圖象的對稱性解題