Question

已知復數z=

(m2-m-2)+(m2+m)i

1+i

（m∈R，i是虛數單位）是純虛數．
（1）求m的值；
（2）若復數w，滿足|w-z|=1，求|w|的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用復數的運算法則把z化為（m²-1）+（m+1）i，再利用純虛數的定義即可得出m．
（2）利用復數模的計算公式即可得出a²+（b-2）²=1，進而由a²=1-（b-2）²≥0求出b的取值范圍，即可得出|w|的最大值．

解答：解：（1）∵復數z=

(m2-m-2)+(m2+m)i

1+i

=

[(m2-m-2)+(m2+m)i](1-i)

(1+i)(1-i)

=

2m2-2+(2m+2)i

2

=（m²-1）+（m+1）i是純虛數．
∴

m2-1=0 m+1≠0

，解得m=1．
∴m的值是1．
（2）由（1）可知：z=2i．設w=a+bi（a，b∈R）．
∵|w-2i|=1，∴

a2+(b-2)2

=1，∴a²+（b-2）²=1，（*）
∴|w|=

a2+b2

=

1-(b-2)2+b2

=

4b-3

．
由（*）可知：（b-2）²≤1，1≤b≤3.

4b-3

≤

9

=3．
∴|w|的最大值為3．

點評：熟練掌握復數的運算法則、純虛數的定義、復數模的計算公式、圓的標準方程等是解題的關鍵．