Question

以下四個關于圓錐曲線的命題中：
①設A、B為兩個定點，k為非零常數，|

PA

|-|

PB

|=k，則動點P的軌跡為雙曲線；
②以定點A為焦點，定直線l為準線的橢圓（A不在l上）有無數多個；
③方程2x²-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
④過原點O任做一直線，若與拋物線y²=3x，y²=7x分別交于A、B兩點，則

OA

OB

為定值．
其中真命題的序號為

 

（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

分析：利用雙曲線，橢圓的定義可確定①②，通過解方程可的③，利用直線與拋物線的關系求得A，B的坐標從而求得

OA

OB

，繼而得答案．

解答：解：①由雙曲線的定義可得，|

PA

|-|

PB

|=k，動點P的軌跡為雙曲線的一支．②不對．
②以定點A為焦點，定直線l為準線的橢圓（A不在l上），離心率的值有無數個，故橢圓有無數多個；②對．
③方程2x²-5x+2=0的兩根為：2，

1

2

，故可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；③對
④設過原點O的直線方程為y=kx k≠0，A，B的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂） 聯立

y=kx y2=3x

，消去x，可得y₁=

3

k

，x₁=

3

k2

，同理可得y₂=

7

k

，x₂=

7

k2

∴

OA

OB

=

y1

y2

=

3

7

為定值．④對．
故答案為：②③④

點評：本題考查了橢圓，雙曲線的定義，及圓錐曲線的共同特征---離心率，考查了學生的靈活把握定義及基礎知識的能了，是個基礎題．