Question

以下四個關于圓錐曲線的命題中：
①雙曲線

x2

16

-

y2

9

=1與橢圓

x2

49

+

y2

24

=1有相同的焦點；
②在平面內，設A、B為兩個定點，P為動點，且|PA|+|PB|=k，其中常數k為正實數，則動點P的軌跡為橢圓；
③方程2x²-3x+1=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
④過雙曲線x2-

y2

2

=1的右焦點F作直線l交雙曲線于A、B兩點，若|AB|=4，則這樣的直線l有且僅有3條．
其中真命題的序號為

①④

（寫出所有真命題的序號）．

Answer 1

分析：根據雙曲線、橢圓標準方程判斷①；
根據定義判斷②；
根據離心率的范圍判斷③；
根據直線與雙曲線有兩個交點．有與右支兩個交點和左、右各一個交點兩種情況，
利用通徑長判斷直線的條數即可．

解答：解：根據雙曲線與橢圓的標準方程，雙曲線與橢圓的焦點坐標都是（±5，0），①正確；
根據橢圓的定義，當k＞|AB|時是橢圓，∴②不正確；
解方程2x²-3x+1=0得兩根分別是

1

2

，1，根據雙曲線的離心率大于1，∴③不正確；
∵過右焦點垂直于x軸的直線與雙曲線的右支的交點為（

3

，±2），|AB|=4，
∴與右支有兩個交點時，直線只有一條；
∵2a=2，∴過右焦點與雙曲線左、右支各一個交點時，滿足|AB|=4，有兩條直線k=±k₁，
∴④正確．
故答案是①④

點評：本題考查圓錐曲線的定義、標準方程、離心率及過焦點弦長問題．