Question

以下四個關于圓錐曲線的命題中
①設A、B為兩個定點，k為非零常數，|

PA

|-|

PB

|=k，則動點P的軌跡為雙曲線；
②設定圓C上一定點A作圓的動點弦AB，O為坐標原點，若

OP

=

1

2

（

OA

+

OB

），則動點P的軌跡為橢圓；
③方程2x²-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
④雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1與橢圓

x2

35

+y²=1有相同的焦點．
其中真命題的序號為

 

（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

分析：①不正確．若動點P的軌跡為雙曲線，則|k|要小于A、B為兩個定點間的距離；②不正確．根據平行四邊形法則，易得P是AB的中點．由此可知P點的軌跡是一個圓；③正確．方程2x²-5x+2=0的兩根

1

2

和2可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；④正確．雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1與橢圓

x2

35

+y²=1焦點坐標都是（±

34

，0）．

解答：解：①不正確．若動點P的軌跡為雙曲線，則|k|要小于A、B為兩個定點間的距離．當|k|大于A、B為兩個定點間的距離時動點P的軌跡不是雙曲線．
②不正確．根據平行四邊形法則，易得P是AB的中點．根據垂徑定理，圓心與弦的中點連線垂直于這條弦設圓心為C，那么有CP⊥AB
即∠CPB恒為直角．由于CA是圓的半徑，是一條定長，而∠CPB恒為直角．也就是說，P在以CP為直徑的圓上運動，∠CPB為直徑所對的圓周角．所以P點的軌跡是一個圓．
③正確．方程2x²-5x+2=0的兩根分別為

1

2

和2，

1

2

和2可分別作為橢圓和雙曲線的離心率．
④正確．雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1與橢圓

x2

35

+y²=1焦點坐標都是（±

34

，0）．
答案：③④

點評：本題考查橢圓和雙曲線的基本性質，解題時要準確理解概念．