Question

若關于x的方程4x²+5x+k=0的兩根為sinθ，cosθ，請寫出一個以tanθ，cotθ為兩根的一元二次方程：

9x²-32x+9=0（不唯一）

．

Answer 1

分析：先利用根與系數的關系得sinθ+cosθ=-

5

4

，兩邊平方得sinθcosθ=

9

32

，然后求出tanθ滿足的等量關系，即可求出一個以tanθ，cotθ為兩根的一元二次方程．

解答：解：∵關于x的方程4x²+5x+k=0的兩根為sinθ，cosθ，
∴sinθ+cosθ=-

5

4

兩邊平方得sinθcosθ=

9

32

∴

sinθcosθ

sin2θ +cos2θ

=

tanθ

1+tan2θ

=

9

32

即9tan²θ-32tanθ+9=0
∴tanθ是一元二次方程9x²-32x+9=0的根，cotθ也是一元二次方程9x²-32x+9=0的根
故答案為：9x²-32x+9=0（不唯一）

點評：本題主要考查了一元二次方程的根的分布與系數的關系，以及三角形函數的求解，屬于中檔題．