Question

設命題p：關于x的方程4x²+4（a-2）x+1=0有實數根；命題q：函數y=lg（ax²-x+a）的定義域是R．若“p或q”為真，“p且q”為假，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：根據命題p和q的真假，求出對應的實數a的取值范圍，然后由“p或q”為真，“p且q”為假得到p真q假和p假q真兩種情況，把兩種情況求得的a的范圍取并集．

解答：解：若命題p：關于x的方程4x²+4（a-2）x+1=0有實數根為真命題，則△=[4（a-2）]²-4×4×1≥0，
即a≤1或a≥3，所以，是命題p為真命題的a的取值范圍是{a|a≤1或a≥3}；
使命題p為假命題的實數a的取值范圍是{a|1＜a＜3}；
若命題q：函數y=lg（ax²-x+a）的定義域是R為真，則

a＞0 (-1)2-4a2＜0

，解得：a＞

1

2

．
所以，使命題q為真命題的a的取值范圍是{a|a＞

1

2

}；
使命題q為假命題的實數a的取值范圍是{a|a≤

1

2

}；
由“p或q”為真，“p且q”為假，得：p真q假或p假q真，
若p真q假，則a的取值范圍是{a|a≤1或a≥3}∩{a|a≤

1

2

}={a|a≤

1

2

}；
若p假q真，則a的取值范圍是{a|1＜a＜3}∩{a|a＞

1

2

}={a|1＜a＜3}．
綜上，使“p或q”為真，“p且q”為假的a的取值范圍是（-∞，

1

2

]∪（1，3）．

點評：本題考查了復合命題的真假判斷，考查了數學轉化思想，解答此題的關鍵是把命題的真假轉化為求集合的交集問題，是中檔題．