Question

設f（x）=4x²-1，g（x）=-2x+1
（1）若關于x的方程f（2^x）=2^g（x）+m有負實數根，求m的取值范圍；
（2）若F（x）=af（x）+bg（x）（a，b都為常數，且a＞0）
①證明：當0≤x≤1時，F（x）的最大值是|2a-b|+a；
②求證：當0≤x≤1時，F（x）+|2a-b|+a≥0．

Answer 1

分析：（1）x＜0，設2^x=t，則t∈（0，1），m=4t2-

2

t2

-1，問題轉化為求4t2-

2

t2

-1值域，由此可解；
（2）F（x）=4ax²-2bx+b-a的對稱軸x=

b

4a

，①分兩種情況討論：當

b

4a

≤

1

2

時，當

b

4a

＞

1

2

時，；
②即求證F（x）_min+|2a-b|+a≥0，按

b

4a

≤0、0＜

b

4a

＜1、

b

4a

≥1三種情況討論求出F（x）_min即可；

解答：解：（1）當x＜0時，設2^x=t，則t∈（0，1），m=4t2-

2

t2

-1，
∵4t2-

2

t2

＜2，∴m＜1．
故m的取值范圍為（-∞，1）．
（2）證明：F（x）=4ax²-2bx+b-a，對稱軸x=

b

4a

，
①當

b

4a

≤

1

2

即2a≥b時，F（x）_max=F（1）=3a-b，
當

b

4a

＞

1

2

即2a＜b時，F（x）_max=F（0）=b-a，
故F(x)max=

3a-b(2a≥b) b-a(2a＜b)

=|2a-b|+a；
②即求證F（x）_min+|2a-b|+a≥0，F(x)=4a(x-

b

4a

)2+

-(2a-b)2

4a

，
當

b

4a

≤0即b≤0時，F（x）_min+|2a-b|+a=F（0）+2a-b+a=2a＞0，
當0＜

b

4a

＜1即0＜b＜4a時，F（x）_min+|2a-b|+a=F（

b

4a

）+|2a-b|+a=

8a2-b2 4a ，(0＜b≤2a) -8a2+8ab-b2 4a ，(2a＜b＜4a)

，
∴F（x）_min+|2a-b|+a＞0，
當

b

4a

≥1即b≥4a時，F（x）_min+|2a-b|+a=F（1）+b-a=2a＞0，
綜上，當0≤x≤1時，F（x）+|2a-b|+a≥0．

點評：本題考查函數恒成立問題及二次函數最值問題，考查分類討論思想，考查學生分析問題解決問題的能力．