Question

【題目】已知定義在上的函數，對任意，都有成立，若函數的圖象關于直線對稱，則

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

由y＝f（x+1）向右平移1個單位可得y＝f（x）的圖象可知，函數y＝f（x）的圖象關于x＝0對稱，即函數y＝f（x）為偶函數，在已知條件中令x＝﹣3，可求f（3）及函數的周期，利用所求周期即可求解得到f（2013）的值．

解：∵y＝f（x+1）向右平移1個單位可得y＝f（x）的圖象，

∴y＝f（x+1）的對稱軸x＝﹣1向右平移1個單位可得y＝f（x）的對稱軸x＝0，

∴函數y＝f（x）的圖象關于x＝0對稱，即函數y＝f（x）為偶函數，

∵f（x+6）＝f（x）+f（3），

令x＝﹣3，則f（3）＝f（﹣3）+f（3）

∵函數y＝f（x）為偶函數，

∴f（﹣3）＝f（3），

∴f（3）＝2f（3），則f（3）＝0

∴f（x+6）＝f（x），

∴f（x）為周期函數，且周期為6，

∴f（2013）＝f（335×6+3）＝f（3）＝0，

∴f（2013）＝0，

故選A．