Question

已知函數f（x）=aln（1+e^x）-（a+1）x。
（1）已知f（x）滿足下面兩個條件，求a的取值范圍。
①在（-∞，1]上存在極值，
②對于任意的θ∈R，c∈R直線l：xsinθ+2y+c=0都不是函數y=f（x）（x∈（-1，+∞））圖象的切線；
（2）若點A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃））從左到右依次是函數y=f（x）圖象上三點，且2x₂=x₁+x₃，當a＞0時，△ABC能否是等腰三角形？若能，求△ABC面積的最大值；若不能，請說明理由。

Answer 1

解：（1）f′（x）=a-a-1=，
接下來分兩步：
㈠、先考慮條件①：
（i）當a+1≥0時，即a≥-1時，可得f'（x）＜0在R上恒成立，
故f（x）在區間（-∞，+∞）上為減函數，與題意不符。
（ii）當a+1＜0時，即a＜-1時，可得f'（x）≤0的解集為{x|x≥ln（-a-1）}，
此時f（x）在（ln（-a-1），+∞）上單調遞減，
在（-∞，ln（-a-1））上單調遞增，
從而x₀=ln（-a-1）是f（x）的極大值點，
結合題意得ln（-a-1）＜1，a＞-1-e，
所以a∈（-1-e，-1）；
㈡、下面找出當a∈（-e-1，-1）時，滿足條件②的a的取值范圍
又∵f′（x）==-1-，
設g（x）=-1-，
則g'（x）=＜0恒成立，
所以f′（x）在（1，+∞）上單調遞減，
而f′（1）=-1-，結合f′（x）在（1，+∞）上連續，
當x無限的趨近于+∞時，f′（x）無限的趨近于-1，
可得f′（x）∈（-1，-1-）
直線l 的斜率k=，則
∵直線l 不是函數f（x）圖象的切線，
∴-1-在（1，+∞）上恒成立，
即-2a-1≤e^x在（1，+∞）上恒成立，
由此可得-2a-1≤e，即a≥
綜上所述，a的取值范圍是[，-1）。
（2）由（1）知，a＞0時，f（x）在區間（-∞，+∞）上為減函數，
∵A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃）），
∴不妨設x₁＜x₂＜x₃，可得f（x₁）＞f（x₂）＞f（x₃），x₂=，
下面用反證法說明A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃））三點不共線：
若A、B、C三點共線，則有f（x₂）=（f（x₁）+f（x₃））
所以 2=+≥2，得x₁=x₃與x₁＜x₂＜x₃矛盾
接下來說明角B是鈍角：=（x₁-x₂，f（x₁）-f（x₂）），
=（x₃-x₂，f（x₃）-f（x₂））
∴=（x₁-x₂）（x₃-x₂）+[f（x₁）-f（x₂）][f（x₃）-f（x₂）]
∵x₁-x₂＜0，x₃-x₂＞0，f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₃）-f（x₂）＜0，
∴＜0，
可得∠B∈（，π），即△ABC是中B為鈍角
假設△ABC為等腰三角形，只能是 =
即：（x₁-x₂）²+[f（x₁）-f（x₂）]²=（x₃-x₂）²+[f（x₃）-f（x₂）]²
∵x₂-x₁=x₃-x₂，
∴[f（x₁）-f（x₂）]²=[f（x₃）-f（x₂）]²
結合f（x₁）＞f（x₂）＞f（x₃），
化簡得2f（x₂）=f（x₁）+f（x₃），
也就是2aln（1+）-2（a+1）x₂=aln（1+）（1+）-（a+1）（x₁+x₃）
將2x₂=x₁+x₃代入即得：2aln（1+）-2（a+1）x₂=aln（1+）（1+）-2（a+1）x₂，
∴2ln（1+）=ln（1+）（1+）（1+）²=（1+）（1+），
可得+2=++=+①
而事實上，若①成立，根據+?2=2，
必然得到 =，與x₁＜x₃矛盾
所以△ABC不可能為等腰三角形。