Question

設拋物線y²=4x的焦點為F，過點M（-1，0）的直線在第一象限交拋物線于A、B，使

AF

•

BF

=0，則直線AB的斜率k=（　　）

• A、

  2

• B、

  2

  2

• C、

  3

• D、

  3

  3

Answer 1

分析：由題意可得直線AB的方程 y-0=k （x+1），k＞0，代入拋物線y²=4x化簡求得x₁+x₂ 和x₁•x₂，進而得到y₁+y₂和y₁•y₂，由

AF

•

BF

=0，解方程求得k的值．

解答：解：拋物線y²=4x的焦點F（1，0），直線AB的方程 y-0=k （x+1），k＞0．
代入拋物線y²=4x化簡可得 k²x²+（2k²-4）x+k²=0，
∴x₁+x₂=

-(2k2- 4)

k2

，x₁•x₂=1．
∴y₁+y₂=k（x₁+1）+k（x₂+1）=

-(2k2- 4)

k2

×k+2k=

k

4

，
y₁•y₂=k²（x₁+x₂+x₁•x₂+1）=4．
又

AF

•

BF

=0=（x₁-1，y₁）•（x₂-1，y₂）=x₁•x₂-（x₁+x₂）+1+y₁•y₂=8-

4

k2

，
∴k=

2

2

，
故選B．

點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，兩個向量的數量積公式的應用，得到 8-

4

k2

=0，是解題的難點和關鍵．