Question

設拋物線y²=4x的焦點為F，過點F的直線與拋物線交于A，B兩點，過AB的中點M作準線的垂線與拋物線交于點P，若|PF|=

3

2

，則弦長|AB|等于（　　）

A．2

B．4

C．6

D．8

Answer 1

分析：求出拋物線焦點為F（1，0），準線為l：x=-1．設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=k（x-1），由AB方程與拋物線方程消去y得關于x的一元二次方程，利用根與系數的關系算出：x₁+x₂=

2k2+4

k2

，x₁x₂=1，由此算出P的坐標為M（

1

k2

，

2

k

），根據|PF|=

3

2

利用點到兩點間的距離公式解出k²=2，從而算出x₁+x₂=4，最后根據拋物線的定義可得弦長|AB|的值．

解答：解：∵拋物線方程為y²=4x，
∴2p=4，p=2，可得拋物線的焦點為F（1，0），準線為l：x=-1，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=k（x-1），
由

y=k(x-1) y2=4x

消去y，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴x₁+x₂=

2k2+4

k2

，x₁x₂=1，
∵過AB的中點M作準線的垂線與拋物線交于點P，
∴設P的坐標為（x₀，y₀），可得y₀=

1

2

（y₁+y₂），
∵y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）-2k=k•

2k2+4

k2

-2k=

4

k

，
得到y₀=

1

2

•

4

k

=

2

k

，所以x₀=

1

4

y02=

1

k2

，可得M（

1

k2

，

2

k

）．
∵|PF|=

3

2

，∴

(1- 1 k2 )2+ 4 k2

=

3

2

，解之得k²=2，
因此x₁+x₂=

2k2+4

k2

=4，根據拋物線的定義可得|AB|=x₁+x₂+p=4+2=6．
故選：C

點評：本題給出拋物線滿足的條件，求拋物線經過焦點的弦AB的長．著重考查了拋物線的定義、標準方程與簡單幾何性質的知識，考查了直線與圓錐曲線的位置關系，屬于中檔題．