Question

已知正△的邊長(zhǎng)為4，是邊上的高，分別是和邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將△沿翻折成直二面角，如圖．

（I）證明：∥平面；
（II）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）在線段上是否存在一點(diǎn)，使？證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：法一：（I）證明：如圖：在△ABC中，由E、F分別是AC、BC中點(diǎn)，

得EF//AB，又AB平面DEF，EF平面DEF．   
∴AB∥平面DEF．  ………………………………………………3分
（II）∵AD⊥CD，BD⊥CD  
∴∠ADB是二面角A—CD—B的平面角
∴AD⊥BD  ∴AD⊥平面BCD
取CD的中點(diǎn)M，這時(shí)EM∥AD  ∴EM⊥平面BCD
過(guò)M作MN⊥DF于點(diǎn)N，連結(jié)EN，則EN⊥DF
∴∠MNE是二面角E—DF—C的平面角，   …………………………………6分
在Rt△EMN中，EM=1，MN=
∴tan∠MNE=，cos∠MNE=．  ……………………………………8分
（Ⅲ）在線段BC上存在點(diǎn)P，使AP⊥DE    ……………………………9分
證明：在線段BC上取點(diǎn)P，使，過(guò)P作PQ⊥CD與點(diǎn)Q，
∴PQ⊥平面ACD   ∵在等邊△ADE中，∠DAQ=30°
∴AQ⊥DE∴AP⊥DE．          …………………………………………12分
法二：（Ⅱ）以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線DB、DC為x軸、y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則A（0，0，2）B（2，0，0）C（0，，
平面CDF的法向量為設(shè)平面EDF的法向量為
則即

所以二面角E—DF—C的余弦值為．     …………………………8分
（Ⅲ）在平面坐標(biāo)系xDy中，直線BC的方程為
設(shè)

所以在線段BC上存在點(diǎn)P，使AP⊥DE．      …………………12分   

略