Question

在等比數(shù)列{a_n}中，首項a₁＜0，則{a_n}是遞增數(shù)列的充要條件是公比q滿足

1. A.
   q＞1
2. B.
   0＜q＜1
3. C.
   q＜1
4. D.
   q＜0

Answer 1

B
分析：先證必要性，由首項小于0，數(shù)列為遞增數(shù)列，可得公比q大于0，得到數(shù)列的各項都小于0，利用等比數(shù)列的性質(zhì)化簡，得到其比值為q，根據(jù)其比值小于1，得到公比q小于1，綜上，得到滿足題意的q的范圍；再證充分性，由0＜q＜1，首項為負(fù)數(shù)，得到數(shù)列各項都為負(fù)數(shù)，利用等比數(shù)列的性質(zhì)化簡，得到其比值為q，根據(jù)q小于1，得到a_n+1＞a_n，即數(shù)列為遞增數(shù)列，綜上，得到{a_n}是遞增數(shù)列的充要條件是公比q滿足0＜q＜1，得到正確的選項．
解答：先證必要性：
∵a₁＜0，且{a_n}是遞增數(shù)列，
∴a_n＜0，即q＞0，且==q＜1，
則此時等比q滿足0＜q＜1，
再證充分性：
∵a₁＜0，0＜q＜1，
∴a_n＜0，
∴==q＜1，即a_n+1＞a_n，
則{a_n}是遞增數(shù)列，
綜上，{a_n}是遞增數(shù)列的充要條件是公比q滿足0＜q＜1．
故選B
點評：此題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，通項公式，以及充要條件的證明，熟練掌握等比數(shù)列的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．