Question

設函數(shù)f（x）=x-In（x+m），其中常數(shù)m為整數(shù)．
（1）當m為何值時，f（x）≥0；
（2）定理：若函數(shù)g（x）在[a，b]上連續(xù)，且g（a）與g（b）異號，則至少存在一點x₀∈（a，b），使g（x₀）=0．
試用上述定理證明：當整數(shù)m＞1時，方程f（x）=0，在[e^-m-m，e^2m-m]內(nèi)有兩個實根．

Answer 1

分析：（1）求出導函數(shù)令其為0得到函數(shù)的駐點，利用導函數(shù)大于得到f（x）為增函數(shù)，小于0得到f（x）為減函數(shù)，得到函數(shù)的極小值，令f（x）的極小值≥0得到m的范圍；
（2）當整數(shù)m＞1時，函數(shù)f（x）在[e^-m-m，1-m]上為連續(xù)減函數(shù)，由增減性得到f（e^-m-m）與f（1-m）異號，由所給定理知，存在唯一的x₁∈（e^-m-m，1-m），使f（x₁）=0；函數(shù)f（x）在[1-m，e^-m-m]上為連續(xù)增函數(shù)且f（1-m）與f（e^2m-m）異號，由所給定理知，存在唯一的x₂∈[1-m，e^-m-m，]，使f（x₂）=0，得到當整數(shù)m＞1時，方程f（x）=0，在[e^-m-m，e^2m-m]內(nèi)有兩個實根．

解答：（1）解：函數(shù)f（x）=x-ln（x+m），x∈（-m，+∞）連續(xù)，且f′(x)=1-

1

x+m

，令f′(x)=0，得x=1-m
當x∈（-m，1-m）時，f’（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，f（x）＞f（1-m）
當x∈（1-m，+∞）時，f’（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，f（x）＞f（1-m）
根據(jù)函數(shù)極值判別方法，f（1-m）=1-m為極小值，而且
對x∈（-m，+∞）都有f（x）≥f（1-m）=1-m
故當整數(shù)m≤1時，f（x）≥1-m≥0
（2）證明：由（1）知，當整數(shù)m＞1時，f（1-m）=1-m＜0，函數(shù)f（x）=x-ln（x+m），在[e^-m-m，1-m]上為連續(xù)減函數(shù)．
f（e^-m-m）=e^-m-m-ln（e^-m-m+m）=e^-m＞0
當整數(shù)m＞1時，f（e^-m-m）與f（1-m）異號，
由所給定理知，存在唯一的x₁∈（e^-m-m，1-m），使f（x₁）=0
而當整數(shù)m＞1時，
f(e2m-m)=e2m-3m＞(1+1)2m-3m＞1+2m+

2m(2m-1)

2

-3m＞0
類似地，當整數(shù)m＞1時，函數(shù)f（x）=x-ln（x+m），在[1-m，e^-m-m]上為連續(xù)增函數(shù)且f（1-m）與f（e^2m-m）異號，由所給定理知，存在唯一的x₂∈[1-m，e^-m-m，]，使f（x₂）=0
故當m＞1時，方程f（x）=0在[e^-m-m，e^2m-m]內(nèi)有兩個實根．

點評：考查學生利用導數(shù)研究函數(shù)極值的能力，利用給出定理證明數(shù)學題的能力．