Question

已知關于x的一元二次方程 (m∈Z)
① mx²－4x＋4＝0,
② x²－4mx＋4m²－4m－5＝0，求方程①和②都有整數解的充要條件.

Answer 1

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解析試題分析：(1)判定是的什么條件，需要從兩方面去理解：一是由條件能否推得；二是由條件能否推得.對于帶有否定性的命題或比較難判斷的命題，除借助集合思想把抽象、復雜問題形象化、直觀化外，還可以利用原命題和逆否命題、逆命題和否命題的等價性，轉化為判斷它的等價命題；（2)判斷充要條件的方法：（1）定義法：直接判斷若則、若則的真假；（2）等價法：利用與，
與，與的等價關系，對于條件或結論是否定式的命題，一般運用等價法；（3）利用集合間的包含關系判斷：若，則是的充分條件或是的必要條件，若，則是的充要條件.
試題解析：解：方程①有實根的充要條件是解得m1.
方程②有實根的充要條件是，
解得
故m=－1或m=0或m=1.
當m=－1時，①方程無整數解.
當m=0時，②無整數解；
當m=1時，①②都有整數.從而①②都有整數解m=1.反之，m=1①②都有整數解.
∴①②都有整數解的充要條件是m=1
考點：充要條件的探索.