Question

（2013•順義區一模）函數B₁的定義域為A，若x₁，x₂∈A且f（x₁）=f（x₂）時總有x₁=x₂，則稱f（x）為單函數．例如，函數f（x）=x+1（x∈R）是單函數．下列命題：
①函數f（x）=x²-2x（x∈R）是單函數；
②函數f（x）=

log2x， x≥2 2-x，  x＜2

是單函數；
③若y=f（x）為單函數，x₁，x₂∈A且x₁≠x₂，則f（x₁）≠f（x₂）；
④函數f（x）在定義域內某個區間D上具有單調性，則f（x）一定是單函數．
其中的真命題是

③

（寫出所有真命題的編號）．

Answer 1

分析：根據已知中“單函數”的定義，可得函數f（x）為單函數時，對任意x₁≠x₂，均有f（x₁）≠f（x₂）成立，由此舉出反例可判斷①②，根據定義可判斷③④，進而得到答案．

解答：解：①中函數f（x）=x²-2x（x∈R），當x=0或x=2時，f（x）=0，故?x₁，x₂∈A且f（x₁）=f（x₂）時，有x₁≠x₂，不滿足“單函數”的定義；
②中函數f（x）=

log2x ，x≥2 2-x，x＜2

，當x=0或x=4時，f（x）=2，故?x₁，x₂∈A且f（x₁）=f（x₂）時，有x₁≠x₂，不滿足“單函數”的定義；
③由“單函數”的定義可得f（x₁）=f（x₂）時總有x₁=x₂，故其逆否命題：x₁≠x₂，則f（x₁）≠f（x₂）成立，故③為真命題
④中函數f（x）在定義域內某個區間D上具有單調性，但在整個定義域上有增有減時，可能會存在x₁≠x₂，使x₁≠x₂，從而不滿足“單函數”的定義；
綜上真命題只有③
故答案為：③

點評：本題以命題的真假判斷為載體考查了新定義“單函數”，正確理解“單函數”的定義是解答的關鍵．