Question

關于函數(shù)f(x)=lg

x2+1

|x|

(x≠0，x∈R)，有下列結(jié)論：
①函數(shù)y=f（x）的圖象關于y軸對稱；
②在區(qū)間（-∞，0）上，函數(shù)y=f（x）是單調(diào)遞減函數(shù)；
③函數(shù)f（x）的最小值為lg2；
④在區(qū)間（0，1）上，函數(shù)f（x）是單調(diào)遞減函數(shù)，其中正確的是

 

．

Answer 1

分析：函數(shù)f(x)=lg

x2+1

|x|

(x≠0，x∈R)，是一個對數(shù)型函數(shù)，其內(nèi)層函數(shù)是一個偶函數(shù)，故研究這個函數(shù)的性質(zhì)，故只研究x＞0時的情況．觀察四個選項發(fā)現(xiàn)①是關于奇偶性的，②③④與單調(diào)性有關，故探究方向出現(xiàn)．

解答：解：觀察知函數(shù)f(x)=lg

x2+1

|x|

(x≠0，x∈R)，是一個對數(shù)型函數(shù)，其內(nèi)層函數(shù)是一個偶函數(shù)，故函數(shù)f(x)=lg

x2+1

|x|

(x≠0，x∈R)，是偶函數(shù)，其圖象關于y軸對稱，令x＞0，則f（x）=lg

x 2+1

x

=lg（x+

1

x

）≥lg2且在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)．下研究四個選項的正確性；'
①函數(shù)y=f（x）的圖象關于y軸對稱是正確的，因為y=f（x）是偶函數(shù)．
②在區(qū)間（-∞，0）上，函數(shù)y=f（x）是單調(diào)遞減函數(shù)是不正確的，由偶函數(shù)的性質(zhì)知f（x）在（-∞，0）上不是單調(diào)函數(shù)．
③函數(shù)f（x）的最小值為lg2是正確的；由偶函數(shù)的性質(zhì)及上面的探究知，函數(shù)f（x）的最小值為lg2；
④在區(qū)間（0，1）上，函數(shù)f（x）是單調(diào)遞減函數(shù)是正確的．
綜上知①③④是正確的．
故應填①③④．

點評：本考點是對數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)，考查了對數(shù)型函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性最小值等基本問題，題型設計得當，考查全面．