Question

有下列四個命題：
（1）一定存在直線l，使函數f(x)=lgx+lg

1

2

的圖象與函數g（x）=lg（-x）+2的圖象關于直線l對稱；
（2）在復數范圍內，a+bi=0?a=0，b=0
（3）已知數列a_n的前n項和為S_n=1-（-1）ⁿ，n∈N^*，則數列a_n一定是等比數列；
（4）過拋物線y²=2px（p＞0）上的任意一點M（x_°，y_°）的切線方程一定可以表示為y₀y=p（x+x₀）．
則正確命題的序號為

 

．

Answer 1

分析：利用函數圖象的對稱變換原則，我們可以判斷（1）的真假；
根據復數相等的充要條件，我們可以舉反例，說明（2）的對錯；
根據數列前n項和，求出數列的通項公式后，根據等比數列的定義，可以判斷（3）的真假；
由拋物線切線的性質（與拋物線有且只有一個交點，且與對稱軸不平行），我們可以判斷（4）的正誤，進而得到答案．

解答：解：函數y=lgx與函數y=lg（-x）的圖象關于y軸對稱，
將函數y=lgx的圖象向上平移lg

1

2

個單位后，得到函數f(x)=lgx+lg

1

2

的圖象
將函數y=lg（-x）的圖象向上平移2個單位后，得到函數g（x）=lg（-x）+2的圖象
由于向上平移的量不相等，故函數f(x)=lgx+lg

1

2

的圖象與函數g（x）=lg（-x）+2的圖象不會軸對稱，故（1）錯誤；
當a=1，b=i時，a+bi=0，顯然在復數范圍內，a+bi=0?a=0，b=0，不成立，故（2）錯誤；
若數列a_n的前n項和為S_n=1-（-1）ⁿ，n∈N^*，則數列a_n為：2，-2，2，-2，…則數列a_n是公比為-1的等比數列，故（3）正確；
直線y₀y=p（x+x₀）過點M（x_°，y_°），且與拋物線y²=2px（p＞0）有且只有一個交點，且與對稱軸平行，故（4）正確；
故答案為：（3），（4）

點評：本題考查的知識點是命題4的真假判斷與應用，奇偶函數的圖象的對稱性，利用導數研究曲線上某點的切線方程及等比關系的確定，要判斷一個命題為真命題，要經過嚴密的論證，但要說明一個命題是假命題，只要舉出一個反例即可．