Question

給出下列五個命題：
①若f′（x₀）=0，則函數y=f（x）在x=x₀處取得極值；
②若m≥-1，則函數f(x)=log

1

2

(x2-2x-m)的值域為R；
③“a=1”是“函數f(x)=

a-ex

1+aex

在定義域上是奇函數”的充分不必要條件．
④函數y=f（1+x）的圖象與函數y=f（l-x）的圖象關于y軸對稱；
⑤“x₁＞1且x₂＞2”是“x₁+x₂＞3且x₁x₂＞2”的充要條件；
其中正確命題的個數是

②③

．

Answer 1

分析：利用導數的概念，對數函數的性質，函數的對稱性與充分條件的概念對四個選項逐一判斷即可．

解答：解：對于①，若f（x）=x³，則f′（0）=0，而函數y=f（x）在x=0處取不能取得極值，故①錯誤；
對于②，若使f（x）=log

1

2

(x2-2x-m)的值域為R，則△=4+4m≥0，
∴m≥-1，
故②正確；
對于③，若a=1，則f（-x）=

1-e-x

1+e-x

=

ex-1

1+ex

=-f（x），
∴f（x）在定義域上是奇函數；反之，若f（-x）=-f（x），即

a-e-x

1+ae-x

=-

a-ex

1+aex

，
整理得（a²-1）（e^2x+1）=0，由于e^2x+1＞0，
∴a=±1，
∴“a=1”是“函數f(x)=

a-ex

1+aex

在定義域上是奇函數”的充分不必要條件，故③正確；
對于④，函數y=f（1+x）的圖象與函數y=f（l-x）的圖象關于y軸對稱是錯誤的；
對于⑤，“x₁＞1且x₂＞2”是“x₁+x₂＞3且x₁x₂＞2”的充分條件而非充要條件；故⑤錯誤．
綜上所述，②③正確．
故答案為：②③．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，考查函數的基本性質及充分條件，考查綜合分析與應用的能力，屬于難題．