Question

（本題滿分16分）

   （文科學生做）已知命題p：函數在R上存在極值；

命題q：設A={x| x 2 + 2 x 3<0}, B={x| x 2 (a +１) x + a >0}，若對，都有；

若為真，為假，試求實數a的取值范圍。

 

（理科學生做）已知命題p：對，函數有意義；

命題q：設A={x| x 2 + 2 x 3<0}, B={x| x 2 (a +１) x + a >0}，若對，都有；

若為真，為假，試求實數a的取值范圍。

Answer 1

解析：（文科）由題意得：，                    …………2分

因為f(x)在R上存在極值，所以=0有兩個不相等的實根；

所以Δ=a2 4>0, 得a>2或a <2                               …………5分

（理科）由題意得：對有ax2 4ax +a+6>0恒成立，       …………2分

當a=0時，有6>0恒成立，

當a≠0時，則

所以                                               …………5分

命題q：由x2 + 2x 3<0得3<x <1 所以A=(3, 1)                      …………7分

因為對，都有，所以AB；                    …………8分

由x 2 (a +１) x + a >0得(x a)(x 1)>0

當a<1時，B= ( ∞, a)∪(1, +∞), 此時不滿足AB，

當a≥1時，B= ( ∞, 1)∪(a, +∞), 此時滿足AB，所以a≥1  …………10分

因為為真，為假，所以p與q一真一假，          …………11分

（文科）當p真q假，則            …………13分

當p假 q真，則                   …………15分

所以所求a的取值范圍是或                …………16分

（理科）當p真q假，則             …………13分

當p假 q真，則                    …………15分

所以所求a的取值范圍是或                 …………16分