Question

如圖，在正方體ABCD-A′B′C′D′中，E，F分別是AB′，BC′的中點． 
（1）若M為BB′的中點，證明：平面EMF∥平面ABCD．
（2）求異面直線EF與AD′所成的角．

Answer 1

分析：（1）△ABB'中，利用中位線得到EM∥AB，結合線面平行的判定定理，可得EM∥平面ABCD，同理可得FM∥平面ABCD，最后根據面面平行的判定定理，可證出平面EMF∥平面ABCD；
（2）連接AC、CD'、B'C，△B'AC中，利用中位線得到EF∥AC，∠D'AC或其補角即為EF與AD'所成的角，然后在等邊三角形ACD'中，可得∠D'AC=60°，即為異面直線EF與AD′所成的角．

解答：解：（1）∵△ABB'中，E、M分別是AB'、BB'的中點，
∴EM∥AB
∵EM?平面ABCD且AB⊆平面ABCD
∴EM∥平面ABCD，同理可得FM∥平面ABCD，
∵EM、FM是平面EMF內的相交直線
∴平面EMF∥平面ABCD．（6分）
  （2）連接AC、CD'、B'C
∵△B'AC中，EF是中位線
∴EF∥AC，可得∠D'AC或其補角即為EF與AD'所成的角
∵正方體ABCD-A'B'C'D'中，AD'、AC、CD'都是面上的對角線
∴設正方體棱長為a，則AD'=AC=CD'

2

a
所以等邊三角形ACD'中，∠D'AC=60°
∴異面直線EF與AD′所成的角60°（6分）

點評：本題以正方體為載體，求證面面平行并且求異面直線所成的角，著重考查了異面直線所成角的求法和面面平行的判定定理等知識，屬于基礎題．