【題目】如圖，
是邊長為6的正方形，已知
，且
并與對角線
交于
，現(xiàn)以
為折痕將正方形折起，且
重合，記
重合后為
，記
重合后為
.
（1）求證：平面
平面
；
（2）求平面
與平面
所成二面角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）
【解析】
（1）取
中點
，連接
，則
，再取
中點
，連接
，易得
，得出四邊形
為平行四邊形，得
，
，證明
平面
，即可證出平面
平面
.
（2）以與
垂直的直線為
軸，為
軸，
為
軸建立坐標(biāo)系，利用空間向量法分別求出平面
和平面
的法向量，再利用空間向量二面角公式求出結(jié)果.
（1）取中點，連接，則
.再取中點，連接，易得，于是，四邊形為平行四邊形，得，從而
，
那么平面，又
平面，故平面平面.
（2）以與垂直的直線為軸，為軸，為軸建立坐標(biāo)系，則，
，
設(shè)平面的法向量
，由
得：
，取
，得
，
所以平面的法向量
.
同理可得：平面的法向量
，
則
，
所以平面與平面所成二面角的余弦值為.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，
是邊長為2的正方形，平面
平面，且
，
是線段
的中點，過
作直線
，
是直線
上一動點.
（1）求證：
；
（2）若直線上存在唯一一點使得直線
與平面
垂直，求此時二面角
的余弦值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】為了實現(xiàn)中華民族偉大復(fù)興之夢，把我國建設(shè)成為富強(qiáng)民主文明和諧美麗的社會主義現(xiàn)代化強(qiáng)國，黨和國家為勞動者開拓了寬廣的創(chuàng)造性勞動的舞臺.借此“東風(fēng)”，某大型現(xiàn)代化農(nóng)場在種植某種大棚有機(jī)無公害的蔬菜時，為創(chuàng)造更大價值，提高畝產(chǎn)量，積極開展技術(shù)創(chuàng)新活動.該農(nóng)場采用了延長光照時間和降低夜間溫度兩種不同方案.為比較兩種方案下產(chǎn)量的區(qū)別，該農(nóng)場選取了40間大棚（每間一畝），分成兩組，每組20間進(jìn)行試點.第一組采用延長光照時間的方案，第二組采用降低夜間溫度的方案.同時種植該蔬菜一季，得到各間大棚產(chǎn)量數(shù)據(jù)信息如下圖：
（1）如果你是該農(nóng)場的負(fù)責(zé)人，在只考慮畝產(chǎn)量的情況下，請根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)信息，對于下一季大棚蔬菜的種植，說出你的決策方案并說明理由；
（2）已知種植該蔬菜每年固定的成本為6千元/畝.若采用延長光照時間的方案，光照設(shè)備每年的成本為0.22千元/畝；若采用夜間降溫的方案，降溫設(shè)備的每年成本為0.2千元/畝.已知該農(nóng)場共有大棚100間（每間1畝），農(nóng)場種植的該蔬菜每年產(chǎn)出兩次，且該蔬菜市場的收購均價為1千元/千斤.根據(jù)題中所給數(shù)據(jù)，用樣本估計總體，請計算在兩種不同的方案下，種植該蔬菜一年的平均利潤；
（3）農(nóng)場根據(jù)以往該蔬菜的種植經(jīng)驗，認(rèn)為一間大棚畝產(chǎn)量超過5.25千斤為增產(chǎn)明顯.在進(jìn)行夜間降溫試點的20間大棚中隨機(jī)抽取3間，記增產(chǎn)明顯的大棚間數(shù)為
，求的分布列及期望.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知拋物線C：x2＝2y，過點(0，2)作直線l交拋物線于A、B兩點.
（1）證明：OA⊥OB；
（2）若直線l的斜率為1，過點A、B分別作拋物線的切線l1，l2，若直線l1，l2，相交于點P，直線l1，l2交x軸分別于點M，N，求△MNP的外接圓的方程.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某班圖書角有文學(xué)名著類圖書5本，學(xué)科輔導(dǎo)書類圖書3本，其它類圖書2本，共10本不同的圖書，該班從圖書角的10本不同圖書中隨機(jī)挑選3本不同圖書參加學(xué)�；顒�.
（1）求選出的三本圖書來自于兩個不同類別的概率；
（2）設(shè)隨機(jī)變量X表示選出的3本圖書中，文學(xué)名著類本數(shù)與學(xué)科輔導(dǎo)類本數(shù)差的絕對值，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某地在每周六的晚上8點到10點半舉行燈光展，燈光展涉及到10000盞燈，每盞燈在某一時刻亮燈的概率均為
，并且是否亮燈彼此相互獨(dú)立.現(xiàn)統(tǒng)計了其中100盞燈在一場燈光展中亮燈的時長（單位：
），得到下面的頻數(shù)表：
亮燈時長/ |
|
|
|
|
|
頻數(shù) | 10 | 20 | 40 | 20 | 10 |
以樣本中100盞燈的平均亮燈時長作為一盞燈的亮燈時長.
（1）試估計
的值；
（2）設(shè)
表示這10000盞燈在某一時刻亮燈的數(shù)目.
①求的數(shù)學(xué)期望
和方差
；
②若隨機(jī)變量
滿足
，則認(rèn)為
.假設(shè)當(dāng)
時，燈光展處于最佳燈光亮度.試由此估計，在一場燈光展中，處于最佳燈光亮度的時長（結(jié)果保留為整數(shù)）.
附：
①某盞燈在某一時刻亮燈的概率等于亮燈時長與燈光展總時長的商；
②若，則
，
，
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】2019年10月1日我國隆重紀(jì)念了建國70周年，期間進(jìn)行了一系列大型慶祝活動，極大地激發(fā)了全國人民的愛國熱情.某校高三學(xué)生也投入到了這場愛國活動中，他(她)們利用周日休息時間到社區(qū)做義務(wù)宣講員，學(xué)校為了調(diào)查高三男生和女生周日的活動時間情況，隨機(jī)抽取了高三男生和女生各40人，對他(她)們的周日活動時間進(jìn)行了統(tǒng)計，分別得到了高三男生的活動時間(單位：小時)的頻數(shù)分布表和女生的活動時間(單位：小時)的頻率分布直方圖.（活動時間均在
內(nèi)）
活動時間 |
|
|
|
|
|
|
頻數(shù) | 8 | 10 | 7 | 9 | 4 | 2 |
（1）根據(jù)調(diào)查，試判斷該校高三年級學(xué)生周日活動時間較長的是男生還是女生？并說明理由；
（2）在被抽取的80名高三學(xué)生中，從周日活動時間在
內(nèi)的學(xué)生中抽取2人，求恰巧抽到1男1女的概率.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】關(guān)于函數(shù)
有下述四個結(jié)論：
①函數(shù)
的圖象把圓
的面積兩等分
②是周期為
的函數(shù)
③函數(shù)在區(qū)間
上有3個零點
④函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減
其中所有正確結(jié)論的編號是（ ）
A.①③④B.②④C.①④D.①③
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】2019年2月13日《煙臺市全民閱讀促進(jìn)條例》全文發(fā)布，旨在保障全民閱讀權(quán)利，培養(yǎng)全民閱讀習(xí)慣，提高全民閱讀能力，推動文明城市和文化強(qiáng)市建設(shè)．某高校為了解條例發(fā)布以來全校學(xué)生的閱讀情況，隨機(jī)調(diào)查了200名學(xué)生每周閱讀時間
（單位：小時）并繪制如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）求這200名學(xué)生每周閱讀時間的樣本平均數(shù)
和中位數(shù)
（的值精確到0.01）；
（2）為查找影響學(xué)生閱讀時間的因素，學(xué)校團(tuán)委決定從每周閱讀時間為
，
的學(xué)生中抽取9名參加座談會．
（i）你認(rèn)為9個名額應(yīng)該怎么分配？并說明理由；
（ii）座談中發(fā)現(xiàn)9名學(xué)生中理工類專業(yè)的較多．請根據(jù)200名學(xué)生的調(diào)研數(shù)據(jù)，填寫下面的列聯(lián)表，并判斷是否有
的把握認(rèn)為學(xué)生閱讀時間不足（每周閱讀時間不足8.5小時）與“是否理工類專業(yè)”有關(guān)？
閱讀時間不足8.5小時 | 閱讀時間超過8.5小時 | |
理工類專業(yè) | 40 | 60 |
非理工類專業(yè) |
附：
（
）.
臨界值表：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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