Question

（2011•大連二模）如圖，在棱長AB=AD=2，AA₁=3的長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點E是平面BCC₁B₁內動點，點F是CD的中點．
（Ⅰ）試確定E的位置，使D₁E⊥平面AB₁F；
（Ⅱ）求平面AB₁F與平面ABB₁A₁所成的銳二面角的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）以A為原點，AB、AD、AA₁所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，設E（2，y，z）利用空間向量方法
將D₁E⊥平面AB₁F轉化為

D1E • AF =0 D1E • AB1 =0

，進行代數運算，解出y，z．確定出E位置．
（Ⅱ）方法一：當D₁E⊥平面AB₁F時，平面AB₁F的法向量為

D1E

，又

AD

是平面A₁AB₁的法向量，利用兩法向量夾角求出平面AB₁F與平面ABB₁A₁所成的銳二面角的大小．
法二：取AB的中點G，可證：FG⊥平面ABB₁A₁，過點G作GH⊥AB₁于H點，連接FH，則FH⊥AB₁，所以∠GHF為所求二面角的平面角，在△GHF中求解即可．

解答：解：（Ⅰ）以A為原點，AB、AD、AA₁所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，
A（0，0，0），F（1，2，0），B₁（2，0，3），D₁（0，2，3），
設E（2，y，z），則

D1E

=(2，y-2，z-3)，

AF

=(1，2，0)，

AB1

=(2，0，3)．（4分）
由D₁E⊥平面AB₁F∴

D1E • AF =0 D1E • AB1 =0.

∴

2+2(y-2)=0 4+3(z-3)=0

∴

y=1 z= 5 3 .

∴E（2，1，

，5

3

） 為所求．  …（6分）
（Ⅱ）方法一：當D₁E⊥平面AB₁F時，

D1E

=(2，-1，-

4

3

)，
又

AD

是平面A₁AB₁的法向量，
且

AD

=(0，2，0)．（8分）cos＜

AD

，

D1E

＞=

AD • D1E

| AD |•| D1E |

=

2×0+(-1)×2+(- 4 3 )×0

2× 61 3

=-

3 61

61

．
∴面AB₁F與平面ABB₁A₁所成的銳二面角的大小arccos

3 61

61

．（12分）
方法二：取AB的中點G，可證：FG⊥平面ABB₁A₁，
過點G作GH⊥AB₁于H點，連接FH，則FH⊥AB₁，
所以∠GHF為所求二面角的平面角．…（9分）
在△GHF中，FG=2，FHFH=1×tan∠B1AB=

3

13

tan∠GHF=

GF

GH

=

2 13

3

．
∴面AB₁F與平面ABB₁A₁所成的銳二面角的大小arccos

3 61

61

．（12分）

點評：本題考查空間直線和平面垂直的判定．考查空間想象、推理論證能力．利用空間向量的方法，能降低空間想象難度，思，將幾何元素位置關系轉化為代數運算表示．是人們研究解決幾何體問題又一有力工具．